El número áureo

El número áureo, también denominado sección áurea, razón áurea o dorada, media áurea, divina proporción o número de oro, representado por la letra griega Φ (fi), es el número:
Aparece en la naturaleza formando parte de la morfología de diversos elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles y el grosor de las ramas (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior).

El número áureo ya había sido descubierto en la antigua Grecia y se utilizó para establecer las proporciones de las partes de los templos. Por ejemplo su planta es un rectángulo en el que la relación entre el lado menor y el lado mayor es dicho número.

La sección áurea se usó mucho en el Renacimiento, particularmente en las artes plásticas y la arquitectura. Se consideraba la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo.

Hoy en día se puede ver en multitud de diseños. El más conocido y difundido sería la medida de las tarjetas de crédito la cual también sigue dicho patrón. También está presente en el conocido edificio de la ONU en Nueva York, el cual no es más que un gran prisma rectangular con una cara que sigue las citadas proporciones.

Si bien el número áureo es irracional, puede ser usado como cociente entre los lados de un rectángulo tomando una aproximación.

Fuente: Wikipedia

El número e

El número e se define por la fórmula e=exp(1) donde exp(x) es la función inversa de la función log(x). (El logaritmo se define como la integral en el intervalo [1,x] de la función 1/x.) Se escogió la letra e en memoria del matemático y físico suizo Leonhard Euler (1707-1783), y se llama número de Euler. El número e es un número trascendental; es decir, no se puede expresar como la raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. (La demostración de que e es un número trascendental se debe a Charles Hermitte en 1873.) El valor de e=2.718281828...

Dedicaremos pronto otro artículo dedicado al número e dada su importancia en el cálculo


Fuente: " 'El Cálculo con Geometría analítica', de Louis Leithold."

Un problema interesante

Al lado del Teatro de la Ópera, en Viena, hay un Café donde Fatou (mi gato) y yo solíamos ir en mis años de estudiante en Europa. Tenían café de muchos sitios diferentes del mundo. Edylbert, el dependiente finlandés, luego de moler los granos preparaba el café a real gusto y escogencia del cliente. Recuerdo las discusiones entre Edylbert y Fatou porque este último insistía en decir que los gatos de Nueva Caledonia, sus primos lejanos, tomaban café de Groenlandia.

Un día, cuando saboreaba un cafecito venezolano, entraron tres finlandeses. Luego de un intercambio amistoso de palabras entre Edy y uno de ellos, Fatou movió su cabeza hacia ambos lados y moviendo sus bigotes dijo: 'El tipo es bastante preciso, de hecho, es Matemático; comete errores, pero... son casi despreciables. Y... ¡no me preguntes por qué ahora! Esta noche te lo aclaro.

'Esa noche, antes de ir a su cama, Fatou dejó sobre la mesa el siguiente escrito: "John, una descripción exacta de la conversación entre los finlandeses es la siguiente:
- Edy, a Fito y Mario ofréceles un fuerte cafeto, dijo el que llevaba la voz cantante.
- ¿Doble?, pregunto Edylbert.. El otro, luego de asentir con su cabeza, se dirigió a sus amigos en voz alta: - Amigos, yo aconsejo ver a Edylbert hacer café."

Al final del escrito, Fatou me dice: - Como ves John, el que llevaba la voz cantante es Matemático y comete errores menores que una millonésima. Como siempre, Fatou me dejó en blanco.

¿Puede alguien responder el por qué de las conclusiones de mi gato?

Tres números con nombre

Hay tres números de gran importancia en matemáticas y que "paradójicamente" nombramos con una letra. Estos números son:

El número designado con la letra griega π = 3,14159....(Pi) que relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro ( Longitud = 2..radio= .diámetro).

El número e = 2,71828......, inicial del apellido de su descubridor Leonhard Euler (matemático suizo del siglo XVIII) que aparece como límite de la sucesión de término general .

El número designado con letra griega = 1,61803... (Fi), llamado número de oro y que es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras.
Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimales no se repiten periódicamente). A estos números se les llama irracionales. Cuándo se utilizan se escriben solamente unas cuantas cifras decimales (en los tres ejemplos de arriba hemos tomado 5).

Una diferencia importante desde el punto de vista matemático entre los dos primeros y el número de oro es que los primeros no son solución de ninguna ecuación polinómica (a estos números se les llama trascendentes), mientras que el número de oro si que lo es. Efectivamente, una de las soluciones de la ecuación de segundo grado es que da como resultado el número de oro.

El número π (pi)

En matemáticas y geometría, π (pi) es la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Es un número trascendental, lo cual significa que no es la raíz de ningún polinomio no nulo de coeficientes enteros.Alternativamente, π puede ser definido como el área de un círculo de radio 1, o como el menor número x positivo tal que sin (x) = 0.

La notación con la letra griega π fue popularizada por el matemático Leonhard Euler.

El valor de pi truncado a 100 posiciones decimales es:π = 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 8939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170680.

Una forma de memorizar los 20 primeros dígitos es con este poema, sólo hay que contar las letras de cada palabra:Soy y seré a todos definible mi nombre tengo que daros cociente diametral siempre inmedible soy de los redondos aros.

Otra versión, que permite enumerar los 27 primeros dígitos, es la siguiente:"¿Qué? ¿Y cómo π reúne infinidad de cifras? ¡Tiene que haber períodos repetidos! Tampoco comprendo que de una cantidad poco sabida se afirme algo así, tan atrevido!"

Nótese que para el segundo 1 (3,14159...) se utiliza la letra griega π

"¡ Mamá, mamá! ¿ Por qué al andar no hago más que dar vueltas?" "Niño, si no te callas te clavo al suelo el otro pie" Chiste de humor negro (1955)

"En la circunferencia, el comienzo y el fin coinciden." Heráclito (c.544-480 a. C.); filósofo griego

Los Puentes de Königsberg

El problema de los siete puentes de Königsberg (Prusia oriental en el siglo XVIII y actualmente, Kaliningrado, provincia rusa) es un célebre problema matemático que fue resuelto por Leonhard Euler en 1736 y dio origen a la Teoría de los grafos.
Consiste en lo siguiente:
Dos islas en el río Pregel, en Königsberg se unen entre ellas y con la tierra firme mediante siete puentes. ¿Es posible dar un paseo empezando por una cualquiera de las cuatro partes de tierra firme, cruzando cada puente una sola vez y volviendo al punto de partida?

Euler enfocó el problema representando cada parte de tierra por un punto y cada puente, por una línea, uniendo los puntos que se corresponden. Entonces, el problema anterior se puede trasladar a la siguiente pregunta: ¿se puede recorrer el dibujo sin repetir las líneas?

Euler demostró que no era posible puesto que el número de líneas que inciden en cada punto no es par (condición necesaria para entrar y salir de cada punto, y para regresar al punto de partida, por caminos distintos en todo momento). En teoría de los grafos esta idea se corresponde con la posibilidad de encontrar un Ciclo Euleriano en un grafo .

Una vision de la isla en la época de Euler, las secciones verdes representan los puentes.