Las Matemáticas son Fáciles

El número áureo

2006-05-17T15:26:00.000-04:00

El número áureo, también denominado sección áurea, razón áurea o dorada, media áurea, divina proporción o número de oro, representado por la letra griega Φ (fi), es el número:
Aparece en la naturaleza formando parte de la morfología de diversos elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles y el grosor de las ramas (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior).

El número áureo ya había sido descubierto en la antigua Grecia y se utilizó para establecer las proporciones de las partes de los templos. Por ejemplo su planta es un rectángulo en el que la relación entre el lado menor y el lado mayor es dicho número.

La sección áurea se usó mucho en el Renacimiento, particularmente en las artes plásticas y la arquitectura. Se consideraba la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo.

Hoy en día se puede ver en multitud de diseños. El más conocido y difundido sería la medida de las tarjetas de crédito la cual también sigue dicho patrón. También está presente en el conocido edificio de la ONU en Nueva York, el cual no es más que un gran prisma rectangular con una cara que sigue las citadas proporciones.

Si bien el número áureo es irracional, puede ser usado como cociente entre los lados de un rectángulo tomando una aproximación.

Fuente: Wikipedia

El número e

2006-05-17T15:19:00.000-04:00

El número e se define por la fórmula e=exp(1) donde exp(x) es la función inversa de la función log(x). (El logaritmo se define como la integral en el intervalo [1,x] de la función 1/x.) Se escogió la letra e en memoria del matemático y físico suizo Leonhard Euler (1707-1783), y se llama número de Euler. El número e es un número trascendental; es decir, no se puede expresar como la raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. (La demostración de que e es un número trascendental se debe a Charles Hermitte en 1873.) El valor de e=2.718281828...

Dedicaremos pronto otro artículo dedicado al número e dada su importancia en el cálculo

Fuente: " 'El Cálculo con Geometría analítica', de Louis Leithold."

Un problema interesante

2006-05-15T12:56:00.000-04:00

Al lado del Teatro de la Ópera, en Viena, hay un Café donde Fatou (mi gato) y yo solíamos ir en mis años de estudiante en Europa. Tenían café de muchos sitios diferentes del mundo. Edylbert, el dependiente finlandés, luego de moler los granos preparaba el café a real gusto y escogencia del cliente. Recuerdo las discusiones entre Edylbert y Fatou porque este último insistía en decir que los gatos de Nueva Caledonia, sus primos lejanos, tomaban café de Groenlandia.

Un día, cuando saboreaba un cafecito venezolano, entraron tres finlandeses. Luego de un intercambio amistoso de palabras entre Edy y uno de ellos, Fatou movió su cabeza hacia ambos lados y moviendo sus bigotes dijo: 'El tipo es bastante preciso, de hecho, es Matemático; comete errores, pero... son casi despreciables. Y... ¡no me preguntes por qué ahora! Esta noche te lo aclaro.

'Esa noche, antes de ir a su cama, Fatou dejó sobre la mesa el siguiente escrito: "John, una descripción exacta de la conversación entre los finlandeses es la siguiente:
- Edy, a Fito y Mario ofréceles un fuerte cafeto, dijo el que llevaba la voz cantante.
- ¿Doble?, pregunto Edylbert.. El otro, luego de asentir con su cabeza, se dirigió a sus amigos en voz alta: - Amigos, yo aconsejo ver a Edylbert hacer café."

Al final del escrito, Fatou me dice: - Como ves John, el que llevaba la voz cantante es Matemático y comete errores menores que una millonésima. Como siempre, Fatou me dejó en blanco.

¿Puede alguien responder el por qué de las conclusiones de mi gato?

Tres números con nombre

2006-05-15T12:20:00.000-04:00

Hay tres números de gran importancia en matemáticas y que "paradójicamente" nombramos con una letra. Estos números son:

El número designado con la letra griega π = 3,14159....(Pi) que relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro ( Longitud = 2..radio= .diámetro).

El número e = 2,71828......, inicial del apellido de su descubridor Leonhard Euler (matemático suizo del siglo XVIII) que aparece como límite de la sucesión de término general .

El número designado con letra griega = 1,61803... (Fi), llamado número de oro y que es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras.
Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimales no se repiten periódicamente). A estos números se les llama irracionales. Cuándo se utilizan se escriben solamente unas cuantas cifras decimales (en los tres ejemplos de arriba hemos tomado 5).

Una diferencia importante desde el punto de vista matemático entre los dos primeros y el número de oro es que los primeros no son solución de ninguna ecuación polinómica (a estos números se les llama trascendentes), mientras que el número de oro si que lo es. Efectivamente, una de las soluciones de la ecuación de segundo grado es que da como resultado el número de oro.

El número π (pi)

2006-05-15T12:01:00.000-04:00

En matemáticas y geometría, π (pi) es la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Es un número trascendental, lo cual significa que no es la raíz de ningún polinomio no nulo de coeficientes enteros.Alternativamente, π puede ser definido como el área de un círculo de radio 1, o como el menor número x positivo tal que sin (x) = 0.

La notación con la letra griega π fue popularizada por el matemático Leonhard Euler.

El valor de pi truncado a 100 posiciones decimales es:π = 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 8939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170680.

Una forma de memorizar los 20 primeros dígitos es con este poema, sólo hay que contar las letras de cada palabra:Soy y seré a todos definible mi nombre tengo que daros cociente diametral siempre inmedible soy de los redondos aros.

Otra versión, que permite enumerar los 27 primeros dígitos, es la siguiente:"¿Qué? ¿Y cómo π reúne infinidad de cifras? ¡Tiene que haber períodos repetidos! Tampoco comprendo que de una cantidad poco sabida se afirme algo así, tan atrevido!"

Nótese que para el segundo 1 (3,14159...) se utiliza la letra griega π

"¡ Mamá, mamá! ¿ Por qué al andar no hago más que dar vueltas?" "Niño, si no te callas te clavo al suelo el otro pie" Chiste de humor negro (1955)

"En la circunferencia, el comienzo y el fin coinciden." Heráclito (c.544-480 a. C.); filósofo griego

Los Puentes de Königsberg

2006-05-15T11:18:00.000-04:00

El problema de los siete puentes de Königsberg (Prusia oriental en el siglo XVIII y actualmente, Kaliningrado, provincia rusa) es un célebre problema matemático que fue resuelto por Leonhard Euler en 1736 y dio origen a la Teoría de los grafos.
Consiste en lo siguiente:
Dos islas en el río Pregel, en Königsberg se unen entre ellas y con la tierra firme mediante siete puentes. ¿Es posible dar un paseo empezando por una cualquiera de las cuatro partes de tierra firme, cruzando cada puente una sola vez y volviendo al punto de partida?

Euler enfocó el problema representando cada parte de tierra por un punto y cada puente, por una línea, uniendo los puntos que se corresponden. Entonces, el problema anterior se puede trasladar a la siguiente pregunta: ¿se puede recorrer el dibujo sin repetir las líneas?

Euler demostró que no era posible puesto que el número de líneas que inciden en cada punto no es par (condición necesaria para entrar y salir de cada punto, y para regresar al punto de partida, por caminos distintos en todo momento). En teoría de los grafos esta idea se corresponde con la posibilidad de encontrar un Ciclo Euleriano en un grafo .

Una vision de la isla en la época de Euler, las secciones verdes representan los puentes.

Sir Isaac Newton

2006-05-13T20:16:00.000-04:00

Isaac Newton nació el día de Navidad del antiguo calendario en 1642 (correspondiente al 4 de Enero de 1643 del nuevo calendario), año en que moría Galileo, en el pueblecito de Woolsthorpe, unos 13 Km. al sur de Grantham, en el Lincolnshire. Fue un niño prematuro y su padre murió antes de su nacimiento, a los treinta y siete años. Isaac fue educado por su abuela, preocupada por la delicada salud de su nieto. Su madre, mujer ahorrativa y diligente, se casó de nuevo cuando su hijo no tenía más que tres años. Newton frecuentó la escuela del lugar y, siendo muy niño, manifestó un comportamiento completamente normal, con un interés marcado por los juguetes mecánicos.

El reverendo William Ayscough, tío de Newton y diplomado por el Trinity College de Cambridge, convenció a su madre de que lo enviara a Cambridge en lugar de dejarlo en la granja familiar para ayudarla. En junio de 1661, a los dieciocho años, era pues alumno del Trinity College, y nada en sus estudios anteriores permitía entrever o incluso esperar la deslumbrante carrera científica del fundador de la mecánica y la óptica. Por otra parte, el Trinity College tenía fama de ser una institución sumamente recomendable para aquellos que se destinaban a las órdenes. Afortunadamente, esta institución le brindó hospitalidad, libertad y una atmósfera amistosa que le permitieron tomar contacto verdadero con el campo de la ciencia.

Al comienzo de su estancia en Cambridge, se interesó en primer lugar por la química, y este interés, según se dice, se manifestó a lo largo de toda su vida. Durante su primer año de estudios, y probablemente por primera vez, leyó una obra de matemáticas sobre la geometría de Euclides, lo que despertó en él el deseo de leer otras obras. Parece también que su primer tutor fue Benjamin Pulleyn, posteriormente profesor de griego en la Universidad. En 1663, Newton leyó la Clavis mathematicae de Oughtred, la Geometria a Renato Des Cartes de Van Schooten, la Optica de Kepler, la Opera mathematica de Vieta, editadas por Van Schooten y, en 1644, la Aritmética de Wallis que le serviría como introducción a sus investigaciones sobre las series infinitas, el teorema del binomio, ciertas cuadraturas. También a partir de 1663 Newton conoció a Barrow, quien le dio clase como primer profesor lucasiano de matemáticas. En la misma época, Newton entró en contacto con los trabajos de Galileo, Fermat, Huygens y otros, a partir probablemente de la edición de 1659 de la Geometria de Descartes por Van Schooten.

Desde finales de 1664, Newton parece dispuesto a contribuir personalmente al desarrollo de las matemáticas. Aborda entonces el teorema del binomio, a partir de los trabajos de Wallis, y el cálculo de fluxiones. Después, al acabar sus estudios de bachiller, debe volver a la granja familiar a causa de una epidemia de peste bubónica. Retirado con su familia durante los años 1665-1666, conoce un período muy intenso de descubrimientos: descubre la ley del inverso del cuadrado, de la gravitación, desarrolla su cálculo de fluxiones, generaliza el teorema del binomio y pone de manifiesto la naturaleza física de los colores. Sin embargo, Newton guarda silencio sobre sus descubrimientos y reanuda sus estudios en Cambridge en 1667.

De 1667 a 1669, emprende activamente investigaciones sobre óptica y es elegido fellow del Trinity College. En 1669, Barrow renuncia a su cátedra lucasiana de matemáticas y Newton le sucede y ocupa este puesto hasta 1696. El mismo año envía a Collins, por medio de Barrow, su Analysis per aequationes numero terminorum infinitos. Para Newton, este manuscrito representa la introducción a un potente método general, que desarrollará más tarde: su cálculo diferencial e integral. En 1672 publicó una obra sobre la luz con una exposición de su filosofía de las ciencias, libro que fue severamente criticado por la mayor parte de sus contemporáneos, entre ellos Robert Hooke (1638-1703) y Huygens, quienes sostenían ideas diferentes sobre la naturaleza de la luz. Como Newton no quería publicar sus descubrimientos, no le faltaba más que eso para reafirmarle en sus convicciones, y mantuvo su palabra hasta 1687, año de la publicación de sus Principia, salvo quizá otra obra sobre la luz que apareció en 1675.

Desde 1673 hasta 1683, Newton enseñó álgebra y teoría de ecuaciones, pero parece que asistían pocos estudiantes a sus cursos. Mientras tanto, Barrow y el astrónomo Edmond Halley (1656-1742) reconocían sus méritos y le estimulaban en sus trabajos. Hacia 1679, verificó su ley de la gravitación universal y estableció la compatibilidad entre su ley y las tres de Kepler sobre los movimientos planetarios.

Newton descubrió los principios de su cálculo diferencial e integral hacia 1665-1666, y durante el decenio siguiente elaboró al menos tres enfoques diferentes de su nuevo análisis. Desde 1684, su amigo Halley le incita a publicar sus trabajos de mecánica, y finalmente, gracias al sostén moral y económico de este último y de la Royal Society, publica en 1687 sus célebres Philosophiae naturalis principia mathematíca. Los tres libros de esta obra contienen los fundamentos de la física y la astronomía escritos en el lenguaje de la geometría pura. El libro I contiene el método de las "primeras y últimas razones" y, bajo la forma de notas o de escolios, se encuentra como anexo del libro III la teoría de las fluxiones. Aunque esta obra monumental le aportó un gran renombre, resulta un estudio difícil de comprender, y parece que Newton quiso que fuera así con el fin «de evitar ser rebajado por pequeños semisabios en matemáticas». Quiso escapar así a las críticas suscitadas por sus textos sobre la luz.

En 1687, Newton defendió los derechos de la Universidad de Cambridge contra el impopular rey Jacobo II y, como resultado tangible de la eficacia que demostró en esa ocasión, fue elegido miembro del Parlamento en 1689, en el momento en que el rey era destronado y obligado a exiliarse. Mantuvo su escaño en el Parlamento durante varios años sin mostrarse, no obstante, muy activo durante los debates. Durante este tiempo prosiguió sus trabajos de química, en los que se reveló muy competente, aunque no publicara grandes descubrimientos sobre el tema. Se dedicó también al estudio de la hidrostática y de la hidrodinámica además de construir telescopios.

Después de haber sido profesor durante cerca de treinta años, Newton abandonó su puesto para aceptar la responsabilidad de Director de la Moneda en 1696. Durante los últimos treinta años de su vida, abandonó prácticamente sus investigaciones y se consagró progresivamente a los estudios religiosos. Fue elegido presidente de la Royal Society en 1703 y reelegido cada año hasta su muerte. En 1705 fue hecho caballero por la reina Ana, como recompensa a los servicios prestados a Inglaterra.

Los últimos años de su vida se vieron ensombrecidos por la desgraciada controversia, de envergadura internacional, con Leibniz a propósito de la prioridad de la invención del nuevo análisis, Acusaciones mutuas de plagio, secretos disimulados en criptogramas, cartas anónimas, tratados inéditos, afirmaciones a menudo subjetivas de amigos y partidarios de los dos gigantes enfrentados, celos manifiestos y esfuerzos desplegados por los conciliadores para aproximar a los clanes adversos, he aquí en pocas palabras los detalles de esta célebre controversia, que se terminó con la muerte de Leibniz en 1716, pero cuyas malhadadas secuelas se harán sentir hasta fines del siglo XVIII.

Después de una larga y atroz enfermedad, Newton murió durante la noche del 20 de marzo de 1727, y fue enterrado en la abadía de Westminster en medio de los grandes hombres de Inglaterra.

"No sé cómo puedo ser visto por el mundo, pero en mi opinión, me he comportado como un niño que juega al borde del mar, y que se divierte buscando de vez en cuando una piedra más pulida y una concha más bonita de lo normal, mientras que el gran océano de la verdad se exponía ante mí completamente desconocido."

Esta era la opinión que Newton tenía de sí mismo al fin de su vida. Fue muy respetado, y ningún hombre ha recibido tantos honores y respeto, salvo quizá Einstein. Heredó de sus predecesores, como él bien dice "si he visto más lejos que los otros hombres es porque me he aupado a hombros de gigantes"- los ladrillos necesarios, que supo disponer para erigir la arquitectura de la dinámica y la mecánica celeste, al tiempo que aportaba al cálculo diferencial el impulso vital que le faltaba.